معمای میمون و نارگیلها

معما:

یه کشتی غرق میشه و فقط ۵ ملوان زنده میمونن و شناکنان خودشون رو به یه جزیره میرسونن. اونها تصمیم میگیرن تا میتونن نارگیل جمع کنن. بعد ار جمع کردن نارگیل ها چون دیر وقت بود به خواب میرن و تصمیم میگیرن فردا صبح نارگیلها رو تقسیم کنند. البته قرار شد تا صبح هر یک به نوبت کشیک بدن تا اگر گروه نجات به دنبالشون اومد، اونی که کشیک میده بقیه رو خبر کنه. اونی که اول کشیک میداده، با خودش میگه فردا سر تقسیم نارگیلها دعوا میشه، پس همین حالا برم سهمم رو بردارم و فردا هم یه سهم دیگه برمی دارم. میره بالا سر نارگیل ها میبینه یه میمون بالای درخت نشسته و میترسه که فردا دستشو رو کنه برای همین اول یه دونه نارگیل از رو کل نارگیل ها برمیداره میده به میمونه بعد یک پنجم از کل نارگیل ها رو برمیداره. دومی و سومی و چهارمی و پنجمی هم به ترتیب همین کارو میکنن. یعنی اول از رو کل باقیمانده نارگیل ها یکی به عنوان حق السکوت میدن به میمون و بعد یک پنجم باقیمانده رو برمیدارن. فردا صبح ۵ تایی میرن سراغ نارگیل ها و یک نارگیل میدن به میمون و باقی رو به پنج سهم مساوی تقسیم میکنن، بدون اینکه نارگیلی نصف بشه.
اول کار چند تا نارگیل بوده؟


توضیحات تکمیلی و جواب:

این معما، معمای مورد علاقه مارتین گاردنره و یه صفحه ویکی پدیا هم داره که تاریخچه اش رو گفته (این معما بیش از ۱۰۰۰ سال قدمت داره). گاردنر به قدری این معما رو دوست داشته که اون رو در اولین فصل کتاب گزیده معماهای ریاضیش میاره (The Colossal Book of Mathematics – Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems).

اگه پاسخ رو N در نظر بگیریم (مجموع نارگیلهای جمع آوری شده)، A رو تعداد نارگیلهایی که نصف ضب فرد اول برداشته، B رو تعداد نارگیلهایی که نصف ضب فرد اول برداشته و … و F رو تعداد نارگیلهایی که فردا صبح به هرکدومشون رسیده، میتونیم مساله رو اینجوری صورتبندی کنیم:

N = 5A+ 1
۴A = 5B+ 1
۴B = 5C+ 1
۴C= 5D+ 1
۴D = 5E+ 1
۴E = 5F+ 1

در مرحله اول باید سعی کنیم مجهولهای میانی (A, B, C, D , E) رو حذف کنیم تا یه معادله داشته باشیم که فقط بر حسب  N و F باشه. چه جوری؟

از معادله آخر شروع می کنیم و E رو بر حسب F مینویسیم:
E=(5F+1)/4

بعد یکی میریم بالا و D رو بر حسب E می نویسیم و بعدش از فرمول مرحله قبل E رو ب F جایگزین میکنیم:
D=(5E+1)/4 = 5*((5F+1)/4)+1)/4

همینجوری میریم بالا. در نتیجه در آحر کار داریم:

The monkey and the coconuts
و به عبارت دیگه:

۱۰۲۴N = 15625F + 11529

حالا ما موندیم و یه معادله خفن، حالا خر بیار و باقالی بار کن! این مساله رو میشه به روش صحیح و خطا (Try and Error) حل کرد. ولی با N های مثبت به اعداد بزرگی میرسیم که حتما محاسبه شون سخته، N منفی هم که بی معنیه. حالا چیکار کنیم!

ولی یه ترفند طلایی هم هست: چون مطابق معادلات بالا N شش بار به ۵ قسمت تقسیم شده و هر بار یکی اضافه اومده، میشه پنج به توان شش (۱۵,۶۲۵) رو به N اضافه کرد، و باز هم یه جواب درست پیدا کرد.

دیگه درست شد: میریم سراغ معادله ۱۰۲۴N = 15625F + 11529 و N رو برایر منفی یک قرار میدیم. نشد، منفی دو، نشد، منفی ۳، نشد، منفی ۴: جواب داد. حالا مطابق ترفندی که گفتیم، ۱۵۶۲۵ رو به منفی ۴ اضافه میکنیم. جواب به دست میاد: ۱۵۶۲۱.


راه میانبر:

اصلا کاری به معادله خفن (۱۰۲۴N = 15625F + 11529) نداشته باشیم. همون اول با اتکا به ترفند طلایی بریم سراغ معادله N=5A+ 1 و با خیال راحت بریم سراغ اعداد منفی. خیلی راحت دیده میشه که با N=-4 معادله حل میشه، ۱۵۶۲۵ بگذار روش، شد یه عدد مثبت، تمام!


مساله مشابه (مساله ویلیامسون):

اگه فردا صبحش نارگیلها به طور مساوی تقسیم میشد و نارگیلی به میمون نمی دادن، N چند بود؟

جواب: مطابق راه حل میانبر از مساله قبل اول میگیم N=-4. اینبار ترفند طلایی فرق میکنه، N فقط پنج بار به پنج قسمت مساوی تقسیم شده و یکی اضافه اومده، پس به جای پنج به توان شش، پنج به توان پنج (۳۱۲۵) رو به این N منفی اضافه می کنیم. بنابراین N=۳۱۲۱.

دیدگاه‌ خود را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.