معمای ریاضی: عدد ده رقمی گاردنر

یه عدد ده رقمی رو در نظر بگیرید که:

• • الف) هیچکدوم از ارقامش تکراری نباشند.
  • ب) عددی که از N رقم اول سمت چپش ایجاد میشه بر N قابل قسمت باشه. یعنی اگه اون عدد رو به صورت abcdefghij نشون بدیم:
    1. a بر ۱ تقسیم پذیر باشه
    2. ab بر ۲ تقسیم پذیر باشه
    3. abc بر ۳ تقسیم پذیر باشه
    4. abcd بر ۴ تقسیم پذیر باشه
    5. abcde بر ۵ تقسیم پذیر باشه
    6. abcdef بر ۶ تقسیم پذیر باشه
    7. abcdefg بر ۷ تقسیم پذیر باشه
    8. abcdefgh بر ۸ تقسیم پذیر باشه
    9. abcdefghi بر ۹ تقسیم پذیر باشه
    10. abcdefghij بر ۱۰ تقسیم پذیر باشه

اون عدد چیه؟

توضیحات تکمیلی و جواب:

• • این معما رو ساعت ۳ صبح اینجا دیدم و واقعا کل روز رو باهاش حال کردم. نویسنده میگه قبل از حل مساله به خلوص و زیبایی مساله نگاه کنید، حظ ببرید و تحسینش کنید. همونطور که اینشتین درباره موسیقی موتزارت گفته:
    

    چنان خالص بود که به نظر می رسید همیشه در جهان وجود داشته و منتظر کشف استاد بوده.

    حالا انگار این معما هم همیشه وجود داشته و منتظر کشف توسط یه ریاضیدان خوش قریحه بوده.

• قبل از ظهر تو اینترنت گشتم دیدم قبلش اینجا هم همین مساله رو مطرح کرده.
• این معما یکی از معماهای مورد علاقه جان کانوی، ریاضیدان شهیر، باحال و استاد سابق دانشگاههای کمبریج و پرینستونه. ایشون اخیرا به خاطر کرونا فوت کرده و به همین خاطر مجلات ریاضی در شماره های اخیرشون زیاد بهش ارجاع میدن. تا جایی که گشتم این معما اختراع دوست کانوی، مارتین گاردنر، ستون نویس مشهور ریاضیه (کتاب The Magic Numbers Of Dr. Matrix منتشر شده در سال ۱۹۸۵، صفحه ۲۱۸).
• امروز سر این معما با یکی از دوستام دو بار سر یه نهار شرط بستم و هر دو بار هم برنده شدم: دفعه اول برای اینکه تو یه ساعت حلش کنه. بعد یک ساعت که نتونست حلش کنه گفت: اصلا جوابی داره؟ جواب رو گفتم. گفت: فکر میکنی فقط همین جواب رو داره، گفتم بله. گفت: پس اگه یه جواب دیگه پیدا کردم، نهار بی نهار، اگه پیدا نکردم، یه نهار دیگه هم بهت میدم. اینجوری بود که نهار دوم رو هم بردم :). اگه خودتون معما رو حل کردید، شما هم سعی کنید با این معمای ریاضی حداقل یه نهار برنده شید!
• راه حلها رو در این صفحات ببینید: ۱ و یا ۲. خلاصه راه حل منبع دوم اینجوریه:
  • • از شرط ب.۱۰ میفهمیم j=0
    • از شرط ب.۵ میفهمیم e=5
    • از شرطهای ب.۲، ب.۴، ب.۶ و ب.۸ میفهمیم که b، d، f و h زوج هستند و بنابراین a، c، e، g و i فرد هستند. بنابراین ab (به دلیل حذف ۰ و ۵ در دو مرحله قبل) یکی از این ۱۶ عدده: ۱۲, ۱۴, ۱۶, ۱۸, ۳۲, ۳۴, ۳۶, ۳۸, ۷۲, ۷۴, ۷۶, ۷۸, ۹۲, ۹۴, ۹۶, ۹۸. این اعداد رو به صورت ستونی مینویسیم، اینجوری.
    • حالا میریم سراغ پیدا کردن abc. مطابق شرط ب.۳ این عدد باید بر ۳ قابل تقسیم باشه. به این جدول میرسیم.
    • همینجور ادامه میدیم و به ترتیب گزینه های قابل قبول برای abcd و تا abcdefgh رو پیدا می کنیم تا نهایتا به جدول زیر میرسیم که همونطور که میبینیم فقط یه جواب داره:
      
    • میمونه دو رقم آخر که با توجه به شروط معما میشه ۹۰. پس جواب اینه: ۳۸۱۶۵۴۷۲۹۰ (۳,۸۱۶,۵۴۷,۲۹۰)
• نامگذاری ریاضی شروط: شرط الف: Pandigital number – شرط ب: Polydivisible number