چه ارتباطی بین الگوی چکه‌کردن شیر آب، مجموعه مندلبرو، جمعیتی خرگوشها، همرفت حرارتی در مایعات، و شلیک نورونهای عصبی مغز وجود دارد؟ ارتباط آنها در یک معادله ساده است: نگاشت لجستیک (Logistic map).
فرض کنید می‌خواهیم جمعیت خرگوشهای یک منطقه را مدلسازی کنیم، یعنی اگر امسال X خرگوش دارید، می‌خواهیم جمعیت خرگوشها در سال بعد را تخمین بزنیم. ساده‌ترین مدلی که می توانیم تصور کنم این است که ما تعداد خرگوشها را در عدد ضریب رشد R، فرضا ۲، ضرب کنیم و این بدان معنی است که جمعیت هر ساله دو برابر می شود. مشکل این مدل این است که تعداد خرگوشها برای همیشه به صورت نمایی رشد می‌کند، بنابراین می توانم اصطلاح ۱ منهای X را برای نشان دادن محدودیت‌هایی مثل میزان غذا در دسترس، طعمه شکارچیان شدن، بیماری، … به آن اضافه کنیم، یعنی این فرمول:
البته برای اینکه این فرمول درست کار کند، X را به صورت درصدی از حداکثر نظری جمعیت خرگوشهای منطقه در نظر می‌گیریم، بنابراین X عددی بین ۰ به ۱ است.
معادله فوق توسط مقاله سال ۱۹۷۶ بیولوژیست استرالیایی، رابرت می، رواج یافت. هر چند این معادله می‌تواند تا حدی به عنوان یک مدل جمعیتی، مشابه تابع لجستیک پیر فرانسوا ورهولست به کار رود، ولی اغلب به عنوان نمونه‌ای از بروز رفتار پیچیده و آشوبناک از معادلات دینامیکی غیر خطی بسیار ساده ذکر می‌شود، یعنی یکی از ۱۷ معادله‌‌ای که باعث تغییر دنیا شده‌اند.
فیلم زیر از کانال یوتیوب Veritasium این معادله جذاب را در مسائل مختلف بررسی کرده. خواهیم دید که علیرغم ظاهر ساده و قطعی‌اش، می‌تواند مجموعه شگفت انگیزی از رفتار پویا را نشان دهد: از نقاط پایدار، به یک سلسله مراتب دو شاخه از چرخه های پایدار، تا نوسانات ظاهرا تصادفی. همانطور که خواهیم دید، چیزی که این معادله را جذاب می‌کند پارامتر جمعیت اولیه نیست، بلکه پارامتر ضریب رشد (r) است، خصوصا در بازه [۰،۴] است. همینطور با نطریه انشعاب، ثابت اول فایگنباوم (Feigenbaum constant) یعنی عدد ۴.۵۵۹۲ و فراکتال مندلبرو آشنا خواهیم شد. بیایید با هم این کلیپ حدودا ۲۰ دقیقه‌ای را ببینیم.
جایزه شما که این مطلب رو تا اینجا دنبال کردید: این معادله در رمزنگاری تصاویر هم استفاده شده است 🙂 این مقاله فارسی را ببینید.
امیدوارم دبیران ریاضی و زیست‌شناسی برای جذب بیشتر دانش‌آموزان به این مباحث، از این فیلم جالب استفاده کنند و آنها را با این معادله آشنا کنند.
جهت مشاهده تصویر بزرگ، روی تصویر بالا کلیک کنید.